Astor Pantaleón Piazzolla nace el 11 de marzo en Mar del Plata (Argentina), en la casa de la calle Rivadavia 2527. Hijo único de Vicente Nonino Piazzolla y de Asunta Manetti. Su padre elige el nombre por su amigo Astor Bolognini, corredor de motos y cellista de la Sinfónica de Chicago.

Es operado repetidas veces de su pierna derecha tras su nacimiento con pied-bot; le queda como secuela una leve diferencia con la otra pierna.

La familia se radica en Nueva York, en el número 8 de St. Mark’s Place, próximo al Little Italy y al barrio judío. Vicente comienza a trabajar de peluquero y Asunta aprende el oficio de cosmetóloga.

Recibe su primer bandoneón a los ocho años de edad, que su padre compra en una casa de empeños. Debido a la Gran Depresión socioeconómica de los Estados Unidos, vuelven transitoriamente a Mar del Plata. Durante esos nueve meses comienza a tomar clases de bandoneón con Libero Pauloni, luego con su hermano Homero.

Regresa con su familia a Nueva York, ahora a un departamento del 313 de la Calle 9 East. Comienza a tener un mayor contacto con el clima de jazz dominante en la ciudad: Cab Calloway, Duke Ellington, Al Jolson, Sophie Taulker.

Estudia bandoneón con Andrés D’Aquila, quien había tocado en Buenos Aires en orquestas de tango. Entre las incipientes actuaciones en locales de la ciudad, en la radio y universidades, realiza lo que se conoce como su primera grabación: Marionette Espanol. Un disco de aluminio, no comercial, producto de una intervención radiofónica en el Radio Recording Studio del 1619 de la calle Broadway, Nueva York.

Desarrolla participaciones en festivales y conciertos, aparece el primer registro en los medios gráficos a raíz de su actuación en la Roerich Society de Nueva York. Hace presentaciones en el restaurante «El Gaucho», sitio frecuentado por Vicente —el padre de Astor— y por argentinos. En ocasiones Astor acompaña al cantor y guitarrista Agustín Cornejo.

Toma clases de música con el pianista húngaro Béla Wilda, discípulo de Rachmaninov. Con Wilda comienza a tener conocimiento de los compositores históricos y entre ellos Johann Sebastian Bach provoca una atención distinta: «con Wilda aprendí a amar a Bach.

Forma parte del Trío de Música española y folklórica, del cantante Agustín Cornejo. Conoce a Gardel en su visita a Nueva York para filmar la película El día que me quieras; a partir de la admiración de Vicente por el cantante se inicia una amistad con la familia; Astor le hace oír sus ejecuciones en bandoneón, le sirve de guía bilingüe en la ciudad y hasta interviene en una escena del film (escena que se ha convertido en un símbolo en la historia del tango); allí aparece en el papel de un circunstancial «canillita» (vendedor de periódicos). A raíz de esta cercanía con Gardel, conoce y toma clases de armonía con Terig Tucci, músico argentino, director musical de sus películas en Nueva York. He joins the Hispanic folk music trio led by singer Agustín Cornejo.

Retorna junto a su familia definitivamente a Mar del Plata. Descubre en una audición radial al violinista Elvino Vardaro; con él termina por conformar el tríptico originario de sus gustos: el Bach de su profesor neoyorquino Béla Wilda, la atmósfera del jazz de aquellos años en Nueva York y ahora el tango del Sexteto de Vardaro. Forma parte en Mar del Plata de pequeños y desconocidos conjuntos.